5.2 Ligne de transmission électrique continue 5.2.1 Equation des télégraphes 5.2.2 Lignes avec pertes

5.2.1 Equation des télégraphistes

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Passage du discontinu au continu
Ligne de transmission électrique continue
Propagation des ondes élastiques dans les solides tridimensionels

Considérons 2 fils tendus parallèlement l'un à l'autre suivant une direction .


Soit une section de longueur de cette ligne.
On sait calculer la Self linéique (c'est à dire le self par unité de longueur) de ce segment de ligne ainsi que la capacité linéique qui existe entre les 2 cylindres conducteurs.

On trouve dans tous les livres d'électricité :

(1)
(2)


On peut considérer que l'état électrique de la ligne dépend de 2 variables : le courant qui circule dans les fils et la tension qui existe entre eux.
Ces 2 variables sont des fonctions de l'abscisse et du temps .

Du fait de l'existence de la self parcourue par le courant , on aura le long du fil, une chute de tension .

A la sortie du segment de longueur , la tension entre les fils sera donc :

Soit :

Ou

D'autre part, la capacité qui existe entre les fils soumise à la tension , se charge d'une charge :

Cette charge provient d'un courant qui est prélevé sur de sorte qu'au point d'abscisse , nous aurons :

Avec

D'où

Nous avons donc un couple d'équations :


On appelle ces équations "équations des lignes".
En dérivant la première par rapport à et la seconde par rapport à , on obtient :

Et en éliminant entre ces deux équations, on arrive à une équation du second ordre aux dérivées partielles, appelée "Equation des Télégraphistes" :

Solution de l'équation des télégraphistes

Cette équation a exactement la même forme mathématique que l'équation des cordes vibrantes et si l'on admet que dépend du temps en :

La solution de l'équation des télégraphistes sera :

Avec

En portant dans cette formule les expressions de et , on trouve :

On peut passer de la corde vibrante à la ligne télégraphique en utilisant les analogies "mécaniques électriques" 

La ligne électrique bifilaire est analogue à une ligne passe bas dont la cellule élémentaire aurait les caractéristiques :

Evidemment le découpage de la ligne électrique, formé de 2 fils parallèles continus, en cellules d'un filtre passe bas est totalement arbitraire.

C'est une idéalisation intellectuelle ; et en fait, il n'est pas d'avantage possible d'identifier dans un tronçon de la ligne, une self et un condensateur distinct, que d'identifier dans un morceau de longueur de corde de violon, une masse et un ressort distinct formant un oscillateur élémentaire.


Toutefois on peut poser

Et puisque pour une vibration transversale :

On a avec :

et

D'où la transposition de la vitesse de phase :

Impédance caractéristique

Par définition l'impédance caractéristique d'une ligne de transmission continue est :

On peut en éliminant entre les 2 équations des lignes obtenir :

Nous avons :

Donc d'après :

D'où :

En utilisant les expressions de et (1) et (2) , on a aussi :

Pour une ligne du type filtre passe bas, on avait obtenu :

Avec

Si on tient compte de et , on a:

Comme peut être pris arbitrairement petit, est arbitrairement grand et on a toujours:

D'où :

Ligne Coaxiale

Une ligne coaxiale est une ligne électrique continue, formée de deux cylindres conducteurs concentriques séparés par un isolant de constante diélectrique et de perméabilité magnétique .

Les selfs linéiques et les capacités linéiques de deux cylindres coaxiaux sont respectivement :


On a encore
Et

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