Forme bilinéaire, forme quadratique sur R ou C
Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques

 

Cette ressource est composée de 3 exercices simples sur la définition et les premières propriétés des formes bilinéaires symétriques et des formes quadratiques.

Dans les trois exercices l'espace vectoriel considéré est de type fini.

Prérequis indispensables  :

Objectifs  :

Temps de travail prévu  :  30 minutes

Sommaire :

Forme bilinéaire symétrique sur R
Forme quadratique sur R
Déterminant


Forme bilinéaire symétrique sur R

Enoncé

Soit f l'application de dans définie pour tout et tout de par :

  1. Montrer que f est une forme bilinéaire symétrique.

  2. Ecrire la matrice associée à f dans la base canonique B de .

  3. Donner l'expression de la forme quadratique q associée à f par rapport à la base canonique B de .

  4. Soient les vecteurs , et .
    Montrer que est une base de , appelée .
    Ecrire la matrice associée à f dans la base .
    Donner l'expression de la forme quadratique q associée à f par rapport à la base .

 

Durée : 10 minutes

Aide de méthodologie

1. On peut utiliser la caractérisation d'une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel de type fini :

Soit E un K-espace vectoriel de type fini et une base de E.

Une application de dans K est une forme bilinéaire symétrique sur E si et seulement si il existe des scalaires , , , tels que pour tout , et tout ,

  avec pour tout i et j compris entre 1 et n.

On peut aussi utiliser la définition d'une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel.

2. Soit E un K-espace vectoriel de type fini, une base de E et f une forme bilinéaire symétrique sur E. La matrice associée à f dans la base

est la matrice carrée symétrique d'ordre n de terme général .

En utilisant la définition de f on peut calculer les scalaires . Ces scalaires peuvent être obtenus directement avec l'expression de  : ce sont les scalaires , , , tels que pour tout , et tout ,

  avec pour tout i et j compris entre 1 et n.

3. Utiliser la définition de la forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique.

4. Ecrire la matrice de passage P de la base à la base et utiliser la formule de changement de base.

 

Solution

1. Première méthode : on utilise la caractérisation d'une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel de type fini :

Soit E un K-espace vectoriel de type fini et une base de E.

Une application de dans K est une forme bilinéaire symétrique sur E si et seulement si il existe des scalaires , , , tels que pour tout , et tout ,

  avec pour tout i et j compris entre 1 et n.

Si est la base canonique de et si , alors et ,
et . Il existe bien des scalaires , , , tels que pour tout , et tout ,

  avec pour tout i et j compris entre 1 et 3.

L'application f est une forme bilinéaire symétrique sur .

Deuxième méthode : on utilise la définition d'une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel.

Pour un vecteur y fixé dans , l'application est une application linéaire de dans .

De plus, pour tout de , .

Pour un vecteur x fixé dans , l'application est donc elle aussi une application linéaire de dans .

L'application f est bien une forme bilinéaire symétrique sur .

 

2. Soit A la matrice associée à f dans la base canonique de . C'est la matrice carrée symétrique d'ordre 3 de terme général .

Ces scalaires peuvent être obtenus directement avec l'expression de  : ce sont les scalaires , , , tels que pour tout , et tout ,

  avec pour tout i et j compris entre 1 et 3.

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Alors, .

3. Soit q la forme quadratique associée à f.

Si , et .

4. . Les vecteurs sont linéairement indépendants, et, comme , ils déterminent une base de .

Soit P la matrice de passage de la base à la base , .

La matrice associée à f dans la base est telle que .

 

Soit x un élément de tel que . Alors, si

 .

Ainsi, sur la base , la forme quadratique q associée à f est décomposée en une somme de carrés.

Sommaire


Forme quadratique sur R

Enoncé

Soit q l'application de dans définie pour tout par .

  1. Montrer que q est une forme quadratique sur .

  2. Ecrire la matrice associée à q dans la base canonique B de .
    Donner l'expression de la forme bilinéaire symétrique f associée à q par rapport à la base canonique B de .

  3. Soient les vecteurs , et . Montrer que est une base de , appelée . Ecrire la matrice associée à q dans la base . Donner l'expression de la forme quadratique q par rapport à la base .

 

Durée : 10 minutes

Aide de méthodologie

1. Utiliser la caractérisation d'une forme quadratique sur un espace vectoriel de type fini :

Soit E un K-espace vectoriel de type fini.

Une application q de E dans K est une forme quadratique sur E si et seulement si, x étant un élément quelconque de E, est une expression polynômiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de x dans une base de E.

2. Soit E un K-espace vectoriel de type fini, une base de E et q une forme quadratique sur E. La matrice associée à q dans la base est la matrice carrée symétrique d'ordre n, de terme général où les scalaires , , , sont tels que pour tout

 .

La forme bilinéaire symétrique f associée à q est alors définie pour tout , et tout , par :

 .

3. Ecrire la matrice de passage P de la base à la base et utiliser la formule de changement de base.

 

Solution

1. Soit un élément de . Si est la base canonique de alors , et .

D'où est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de x dans la base canonique de . C'est donc une forme quadratique sur .

2. La matrice associée à la forme quadratique q dans la base canonique de est la matrice carrée symétrique d'ordre 3 de terme général où les coefficients sont tels que :

 .

 

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d'où .

Si, pour tout , , alors la forme bilinéaire symétrique f associée à q est définie pour tout et tout de par :

 

 

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d'où

3. . Les vecteurs sont linéairement indépendants, et, comme , ils déterminent une base de .

Soit P la matrice de passage de la base à la base , .

La matrice associée à f dans la base est telle que .

 .

Soit x un élément de tel que . Alors

 .

Sommaire


Déterminant

Enoncé

  1. Soit l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels et q l'application de dans qui à toute matrice A de associe son déterminant. L'application q est-elle une forme quadratique sur  ?

    Si oui, déterminer la forme bilinéaire symétrique associée.

  2. Soit l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels. L'application de dans qui à toute matrice A de associe son déterminant est-elle une forme quadratique sur  ?

    Si oui, déterminer la forme bilinéaire symétrique associée.

 

Durée : 10 minutes

Aide de méthodologie

1. Utiliser la caractérisation d'une forme quadratique sur un espace vectoriel de type fini :

Soit E un K-espace vectoriel de type fini.

Une application q de E dans K est une forme quadratique sur E si et seulement si, x étant un élément quelconque de E, est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de x dans une base de E.

2. Utiliser la propriété suivante :

Soit E un K-espace vectoriel et q une forme quadratique sur E. Alors pour tout élément x de E et pour tout scalaire , .

Aide supplémentaire

Utiliser la base canonique de .

(, , , ).

 

Solution

1. Soit la base canonique de .

(, , , ).

Soit une matrice de . Elle s'écrit et .

  est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de A dans la base canonique de . C'est donc une forme quadratique sur .

La forme bilinéaire symétrique associée à q est définie pour tout et tout par :

 .

2. Si q est une forme quadratique sur un K-espace vectoriel E alors elle vérifie la propriété suivante :

, , .

Or, si A est une matrice de et un réel, on a : .

En particulier, donc .

L'application de dans qui à toute matrice A de associe son déterminant n'est donc pas une forme quadratique sur .

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